100 баллов, срочно диагональ правильной четырехугольной призмы равна 35 дц, а диагональ боковой грани равна 25 дц. вычислите объем призмы основание пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 см и 24 см боковые ребра образуют с основанием углы 60°. вычислите объем пирамиды
А) Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 35 дц, а диагональ боковой грани равна 25 дц. Вычислите объем призмы. ДАНО: АВСDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ; B1D = 35 дц ; C1D = 25 дц. НАЙТИ: V ( призмы ) __________________________ РЕШЕНИЕ: см. рис. 1 1) По свойству правильной четырехугольной призмы отрезок В1С1 перпендикулярен плоскости C1D1D => В1С1 перпендикулярен C1D Значит, ∆ В1С1D - прямоугольный, угол B1C1D = 90° По теореме Пифагора: B1D² = B1C1² + C1D² B1C1² = 35² - 25² = ( 35 - 25 )( 35 +25 ) = 10 × 60 = 600 B1C1 = 10√6 дц 2) B основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат Рассмотрим ∆ С1DC ( угол C1CD = 90° ) : По теореме Пифагора: C1D² = C1C² + CD² C1C² = 25² - ( 10√6 )² = 625 - 600 = 25 C1C = 5 дц 3) V ( призмы ) = S осн. × h = S abcd × C1C = ОТВЕТ: V ( призмы ) = 3000 дц³ Б) Основание пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 см и 24 см, боковые ребра образуют с основанием углы 60°. Вычислите объем пирамиды. ДАНО: ABCGH - четырёхугольная пирамида ; ABCG - прямоугольник ; угол НАС = 60° ; АВ = 10 см ; ВС = 24 см. НАЙТИ: V ( пирамиды ) ___________________________ РЕШЕНИЕ: см. рис. 2 Так как все боковые ребра пирамиды образуют с основанием углы в 60°, значит, пирамида является правильной, то есть все боковые ребра пирамиды равны. 1) Рассмотрим ∆ ACG ( угол AGC = 90° ) : По теореме Пифагора: AC² = AG² + CG² AC² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676 AC = 26 см Опустим высоту ОН пирамиды, тогда высота проецируется в центр основания ( прямоугольника ). Центром прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. АО = ОС = 1/2 × АС = 1/2 × 26 = 13 см - по свойству пересечения диагоналей прямоугольника 2) Рассмотрим ∆ АНО ( угол АОН = 90° ) : tg HAO = OH / AO tg 60° = OH / 13 OH = 13 × tg 60° = 13 × √3 = 13√3 см 3) V ( пирамиды ) = 1/3 × S осн. × h = 1/3 × S abcg × OH = ОТВЕТ: V ( пирамиды ) = 1040√3 см³