Максимальное значение AO+BO+CO принимает тогда, когда O - центр описанной окружности треугольника. То есть AO+BO+CO = 3R;
Пусть α, β, γ - углы треугольника. Поскольку точка О лежит внутри треугольника, то треугольник остроугольный. Минимальное значение периметра установим по теореме синусов: 
; При этом 
3R " alt=" P_{min}=2R\frac{\sqrt{3}}{2}+2R\frac{\sqrt{3}}{2}+2R\frac{\sqrt{3}}{2}=3R\sqrt{3}>3R " align="absmiddle" class="latex-formula">, что и требовалось