Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис.
Это значит, что АО биссектриса ВАС.
Значит, ВАС = 2*30°=60°, АВС=30°.
С треугольником мы определились.
Углы 30°, 60° и 90°, гипотенуза с, катеты а=с*√3/2; b=c/2.
P=a+b+c=c*√3/2+c/2+c=c/2*(3+√3)
p= P/2 = c/4*(3+√3)
ОD=r=3 - радиус вписанной окружности.
Есть формула площади тр-ника:
S = p*r = c/4*(3+√3)*3
Осталось найти гипотенузу с.
Окружность делит катеты и гипотенузу на отрезки равной длины.
Обозначим точки касания D, N, M.
CD=CN=r=3
AN=AM=b-r=c/2-3=(c-6)/2
BN=BM=a-r=c*√3/2-3=(c*√3-6)/2
AM+BM=AB=c
(c-6)/2 + (c*√3-6)/2 = c
c-6 + c*√3-6 = 2c
c*(1+√3-2)=c*(√3-1)=12
c=12/(√3-1)=12(√3+1)/(3-1)=6(√3+1)
Подставляем в площадь
S=6(√3+1)/4*(3+√3)*3=18/4*√3*(√3+1)^2=9*√3/2*(4+2√3) =9*√3*(2+√3)
Ответ: S=27+18√3
Если я ничего не напутал.