1. Найти производную функции .
а) y =x³ - 9x² +x -1 ;
y '= (x³ - 9x² +x -1)' =(x³}' - (9x²)' +(x)' -(1)'= 3x² -9*2x +1 -0 = 3x² -18x +1 .
---
б) y =(x³+ 1)/(x² +1) ;
y '= ( (x³+ 1) /(x² +1) )' = ( (x³+ 1)' *(x² +1) - (x³+ 1) (x² +1)' ) / (x² +1)² =
( 3x²(x² +1) - (x³+ 1)*2x ) / (x² +1)² = x ( x³ + 3x -2) / (x² +1)² .
---
в) y =x²sinx
y ' =(x²sinx ) ' = (x²)'*sinx + x²* (sinx) ' =2xsinx + x² cosx . || x(2sinx+xcosx) ||
---
г) y =sin²3x ;
y ' =( sin²3x ) ' =2sin3x*(sin3x)' =2sin3x*cos3x *(3x)' =sin6x *3 = 3sin6x .
* * * 2sinα*cosα =sin2α * * *
д) y =Log3 4x ;
y ' = ( Log3 4x ) ' = ( 1/(4x*Ln3) ) *(4x) ' = ( 1/(4x*Ln3) ) *4 =1/ xLn3.
---
е) y =3/(5x²) ;
y ' = ( 3/(5x²) ) ' = (3/5) *(x⁻²) ' = (3/5) * (-2)* (x⁻³) = - 6/(5 x³).
или как прозв. дроби :
y ' = ( 3/(5x²) ) ' = ( (3)' *(5x²) - 3* (5x²) ' ) / (5x²)² = (0 - 3* 5*2x ) / 25x⁴ =
-6/(5 x³).
-------
2. Решить уравнение f ' (x) =0 если f(x) = x - cosx .
---
f ' (x) =( x -cosx ) ' =(x)' -(cosx)' =1 +sinx , следовательно :
1 +sinx = 0 ;
sinx = -1 ;
x = -π/2 +2π*n , n ∈ Z .
-------
3. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = x - 3x² в точке с абсциссой x₀ =2 .
---
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид:
y = f(x₀)+ f'(x₀)(x - x₀) ;
f(x₀) = x₀ - 3x₀² = 2 - 3*2² = -10.
f ' (x) = ( x - 3x²) ' = ( x)'-( 3x²)' = 1 -3 *2x =1 -6x ;
f ' (x₀) = 1 -6x₀ = 1 -6*2 = -11 .
Следовательно :
y = -10 -11(x - 2) = -11x +12 .
ответ : y = -11x +12 .
Удачи !