В треугольнике ABC проведены высота BD и биссектриса BE. EF - высота треугольника ABE....

Я думаю, что треугольник АВС равнобедренным быть НЕ МОЖЕТ по условию. Поскольку в прямоугольном треугольнике BFE катет FE равен половине гипотенузы ВЕ (дано), <ABE=30° . В треугольнике АВС <ABC =60°, так как ВЕ - биссектриса (дано). Тогда сумма оставшихся двух углов равна 120° и в лучшем случае треугольник АВС может быть равносторонним, что исключено по условию задачи: "Площади треугольников ABD и DBC имеют соотношение 18:7".

Из треугольника
$\Delta BEF \\ \frac{EF}{BF}=sin \angle ABE = \frac{1}{2}\\ \angle ABE=\frac{\pi}{3}=30а$
Так как
$\frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{AD*BD}{CD*BD} = \frac{18}{7} \\ \frac{AD}{CD} = \frac{18}{7}$
Так как $BE$ биссектриса , то
$ABC = 2*\angle ABE = 60а \\ \frac{18}{7} = \frac{AD}{CD}$
$\angle BAC=b\\ BD= \frac{ADsinb}{cosb}\\ BD = \frac{CDsin(\frac{2\pi}{3}-b)}{cos(\frac{2\pi}{3}-b)} \\ \frac{ tgb }{tg(\frac{2\pi}{3}-b )} = \frac{7}{18} \\ \frac{\sqrt{3}-2*cos( 2b- \frac{\pi}{6} )}{2cos(2b-\frac{\pi}{6})+\sqrt{3}} = \frac{7}{18} \\ cos(2b-\frac{\pi}{6})=x \\ x = \frac{11\sqrt{3}}{50} \\$
$b= \frac{\pi}{3}-0.5*arcsin ( \frac{11*\sqrt{3}}{50} ) \\$
Отсюда конечно можно найти соотношение между сторонами (зная углы , сделать это можно) ,но оно не целостно выражается , и выходит что треугольник не равнобедренный , возможно где-то ошибка , либо я ошибся