a)x₁ =√(a² +b²) -это гипотенуза прямоугольном треугольнике с катетами a и b .
построить прямой угол (AB будет искомый .
---------------------------------------------
x₂ =√(a*b) .
Провести прямая a , на ней отложить последовательно отрезок AH=a ; HB =b и на AB как на диаметре построить полуокружность ; в точке H восстановить перпендикуляр к этой линии . Пусть C точка пересечения перпендикуляра с окружностью . HC - искомый .
( HC ≤ R ⇔ √(a*b) ≤ (a+b)/2 равенство выполняется при a =b геометрическая интерпретация сред.. ариф. и сред. геом.)
Доказательство не сложно ; соединить C с концами диаметра A и B ⇒
(теорема_ пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике).
---------------------------------------------
X₃ =a*c/b .
b : a = c : x .(Построение четвертого пропорционального отрезка) .
На сторонах произвольного угла ABC откладываем BD = b , DE = a ,BF =c .
Проведя затем через D и F прямую , построим EG| | DF .
отрезок FG будет искомый ( см. теоремы о пропорциональных линиях) .
*****************************************************************************************
б) y₁=√(a² +3ab) =√(a*(a+3b)) ; см. x₂ =√(a*b) .
---------------------------------
y₂ =a²/b = a*a/b ; см. X₃=a*c/b .
----------------------------------------------
y₃ =(a^4 +b^4) ^(1/4) =√√a²(a² +(b²/a)²) =√(a√(a² +(b²/a)²) ⇒ сначала c= b²/a ,
потом d = √(a² +c²) , в конце √(a*d ) . Включает в себя все три построение .