В дальнюю дорогу. какой падеж у прилогательного

Винительный падеж.
Потому что падеж прилагательного определяется по существительному, стоящего рядом. То есть в дальнюю (что?) дорогу. На вопросы кого? что? отвечает Винительный, значит и у прилагательного падеж Винительный