В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под...

Question

В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30 градусов. Расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно корню из трех. Найти объем пирамиды.

Comments

Объем равен 256

---

Построим сечение через высоту пирамиды и апофему боковой грани

---

Полученный в сечении треугольник делится высотой пирамиды на два прямоугольных. Рассмотрим один из них, в прямоугольном треугольнике из середины высоты пирамиды на гипотенузу опущена высота, тогда раз угол между гранью и основпнием равен 30, то угол между апофемой и высотой равен 60.

---

Половина высоты пирамиды будет равна кореньизтрех/(sin(60))=2, значит вся высота пирамиды равна 4.

---

Тогда половина стороны основания равна произведению высоты пирамиды на тангенс 60, то есть равна 4*кореньизтрех. Сторона же основания будет равна 8*кореньизтрех.

Answer 1

Объем пирамиды равен одной трети на площадь основания на высоту. V=1/3*(8*кореньизтрех)^2*4=64*4=256