Муравей ползет по ребрам куба,поворачивая лишь в вершинах.Может ли случиться так,что: а)в...

Question

Муравей ползет по ребрам куба,поворачивая лишь в вершинах.Может ли случиться так,что:
а)в одной из вершин он побывает 25 раз,а в остальных - по 20
б)в одной из вершин он побывает 20 раз,а в каждой из остальных - по 25
в) одной из вершин он побывает 20 раз,а в трех - 20 и в одной 31?

Answer 1

Обозначим вершины куба: ABCDA1B1C1D1. Разделим вершины на две группы: A,C,B1,D1 и BDA1C1. Путь муравья проходит поочерёдно через вершины первой и второй группы. Значит суммы посещений вершин в обеих группах не могут отличаться более, чем на единицу.
а) и б) Не может, так суммы отличаются на 5.
в) Может: вначале покрутиться по одной грани 20 раз, а затем по противоположной грани покрутиться 30 раз + зайти в ещё одну вершину этой же грани.