Площадь прямоугольного треугольника равна (578√3)\3. Один из острых углов равен 30∘....

Тангенс угла - это отношение противолежащего катета (а) к прилежащему (b). tq 30 град = √3/3 (таблице), т.е. отношение а/b=√3/3, или a=b√3/3.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле
S= $\frac{1}{2} ab$ , подставим известные величины
$578\frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{1}{2} b \frac{ \sqrt{3} }{3} *b$
Умножим обе части на 2 и разделим обе части на √3/3. Получим уравнение
b²=1156 отсюда b=34
Ответ: прилежащий к углу 30 градусов катет =34.