В арифметической прогрессии сумма n первых членов равна сумме m её первых членов ....

$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}n \\ S_{m} = \frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}m\\\\ S_{n+m} = \frac{2a_{1}+d(n+m-1))}{2}(n+m)\\\\ 2a_{1}n+dn(n-1) = 2a_{1}m+dm(m-1)\\ 2a_{1}(n-m)=d(m(m-1)-n(n-1))\\ 2a_{1}(n-m)=d(m^2-n^2)+d(n-m) \\ 2a_{1}=-d(m+n-1)\\\\ 2a_{1}+d(n+m-1)=0$

То есть равна 0