х^(1/2) -4x^(1/4) + 3 ≥ 0
ОДЗ: х≥0
Замена у = x^(1/4)
у² - 4у + 3 ≥ 0
Исследуем функцию f(y) = у² - 4у + 3. Найдём нули этой функции
у² - 4у + 3 = 0
D = 16 - 12 = 4
√D = 2
y₁ =(4 - 2):2 = 1
y₂ = (4 + 2):2 = 3
График функции f(y) = у² - 4у + 3 - парабола веточками вверх, поэтому неравенство
у² - 4у + 3 ≥ 0 будут справедливо при у слева от у = 1 и справа от у = 3, включая эти точки, т.е.
у∈(-∞; 1]U[3; +∞).
Вернёмся к замене у = x^(1/4)
1 = x^(1/4) ⇒ х = 1 ∈ ОДЗ
3 = x^(1/4) ⇒ х = 81∈ ОДЗ
Сопоставим х и у и получим решение исходного неравенства
х∈(-∞; 1]U[81; +∞).