Найдите все стороны четырехугольника,в который можно вписать окружность.Если 3 его угла...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Если вам нужно выразить каждую сторону через $A,B,C,x$ , пришел к такому.
Пусть у нас имеется четырехугольник $abcd$ . Соответственные углы равны $A,B,C$ , следовательно четвертый тупой угол $360-A-B-D$ 90" alt=">90" align="absmiddle" class="latex-formula"> .
По теореме о биссектрисе четырехугольника , утверждает что биссектрисы каждого угла пересекаются в центре вписанной окружности. Обозначим его $O$ .
Пусть отрезки биссектрис равны из вершины $A,B,C,D$ соответственно
$Q,W,Y,G$ . Радиус вписанной окружности $r$ .
Так как радиус перпендикулярен касательной , по теореме Пифагора выразим
каждый отрезок биссектрисы , используя то что углы будут равны $\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}; \ 180-\frac{A+B+C}{2}$
$\frac{r}{sin\frac{A}{2}}=Q\\\\ \frac{r}{sin\frac{B}{2}}=W\\\\ \frac{r}{sin\frac{C}{2}}=Y\\\\ \frac{r}{sin\frac{A+B+C}{2}}=G$
Пусть стороны равны $a,b,c,x$
Так как в четырехугольник можно вписать окружность
$x+a=b+c$
По свойству, отрезки биссектрис в четырехугольнике
$\frac{Q}{Y}=\frac{bx}{ac}\\\\ \frac{G}{W}=\frac{ab}{cx}$
Из условия выше получаем
$\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=a\\\\ \frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c=b\\\\$
так как
$x+a=b+c\\\\ x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=\frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c+c\\\\ c=\frac{x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x}{{sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}+1}}$
его можно упростить , откуда можно выразить и остальные стороны

Матов_zn (224k баллов) 17 Март, 18