В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90 градусов) проведена высота CD. Докажите, что...

Question

В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90 градусов) проведена высота CD. Докажите, что если угол CВА равен 30 градусов, то АВ:ВD=4:1.

Answer 1

мб отношение 4:3, или AB:AD?

пусть CD=х, тогда СB=2x(по теореме о катете, лежащего против угла 30 градусов) 

по теореме пифагора из треугольника СDB, получим, что DB=х*корень из 3

по теореме о метрических соотношениях

СD^2=AD*DB

AD=х^2\xкорень из 3= х\корень из 3= х*корень из 3\3

AB=AD+DB=х*корень из 3\3 + х*корень из 3= 4х*корень из 3\3

тогда, AB:BD=4х*корень из 3\3 : х*корень из 3 = 4:3

если AB:AD= 4х*корень из 3\3 : х*корень из 3\3= 4:1

Answer 2

Высота в прямоугольном треугольнике делит его на треугольники подобные данному.

Расмотрим соотношения между сторонами, учитывая, что против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы.

AС = AB/2,  DC = BC/2,  AD=AC/2

Из данных соотношений следует, что AD = AC/2 = АВ/4, т.е. AB:AD=4:1

А вот АВ:ВD=4:3, т.к. ВD в три раза больше, чем AD