Для f(x) =2sin3x найти: а) Множество всех первообразных; б) Первообразную, график которой...

Сначала найдем множество первообразных. для этого нужно взять интеграл от f(x).

$\int 2sin(3x)\,dx=2\int 2sin(3x)\,dx=\frac{2}{3}\int 2sin(3x)\,d(3x)=-\frac{2}{3}cos(3x)+C$ , где С-константа.

Множество первообразных будет $F(x)=-\frac{2}{3}cos(3x)+C$

Теперь найдем первообразную, график которой проходит через A (П/3; 0).

Для этого надо решить уравнение $F(\frac{\pi}{3})=0$ , и найти отсюда C.

Решаем:

$-\frac{2}{3}cos(3\frac{\pi}{3})+C=0$

$C=\frac{2}{3}cos(\pi})=\frac{2}{3}(-1)=-\frac{2}{3}$

Нашли C, подставим в уравнение первообразной и получим:

$F_0(x_0)=-\frac{2}{3}cos(3x)-\frac{2}{3}$

Ответ: Множество всех первообразных: $F(x)=-\frac{2}{3}cos(3x)+C$

Первообразная, график которой проходит через A (П/3; 0): $F_0(x_0)=-\frac{2}{3}cos(3x)-\frac{2}{3}$