к окружности проведена касательная АВ (В-точка касания). Прямая АМ проходит через центр...

Question

к окружности проведена касательная АВ (В-точка касания). Прямая АМ проходит через центр окружности и пересекает ее в точках М и N. Найти квадрат расстояния от точки В до прямой AN, если АМ=1, АВ равнен корень квадратный из 3 В правильном шестиугольнике ABCDEF из вершины С на диагональ AD опущен перпендикуляр СК. Найти отношение длин отрезков АК и KD В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС длина средней линии MN =10. Площади четырёхугольников MBCN и AMND относятся как 3:5 соответственно. Во сколько раз длина AD больше длины ВС?

Answer 1

1. AN = AB^2/AM = 3; MN = 2; => OB = 1;

=> угол BAO = 30 градусов; BH = AB*sin(30) = корень(3)/2;

2. О - центр правильного шестиугольника.

ОС = ОD = CD = OA; => OK = KD; => AK/KD = 3;

3. вот тут есть кое-что интересное. Построение такое - проводим ВР II CD, Р лежит на MN. Проводим PK II BA, K лежит на AD. Ясно, что PN = BC; => MP = (AD - BC)/2 = AK; 

Трапеция KPND равна трапеции MBCN, то есть её площадь составляет 3/5 площади AMNP. Площадь параллелограмма AMPK, соответственно, составляет 2/5 от площади AMNP. Поскольку у этих фигур общая высота, отношение их площадей равно отношению средних линий.

Обдумайте это внимательно - речь идет о средних линиях параллелограмма (а параллелограмм - частный случай трапеции :)) AMPK, равной АК = МР = (AD - BC)/2; и средней линии трапеции KPND, то есть - трапеции MBCN, равной ((AD + BC)/2 + BC)/2 = (AD/4 + 3*BC/4); 

(Я вынужден сделать замечание. Условие MN = 10 я намеренно не использую, хотя отлично вижу, что тут можно было бы подставить это значение.)

Итак, получилось (AD/2 + 3*BC/2)/(AD - BC) = 3/2; обозначим AD/BC = x;

(x/2 + 3/2)/(x - 1) = 3/2; x = 3;

Условие MN = 10 позволяет найти основания, равные 5 и 15.