Условие: АВСD - квадрат, ВК=КС, СМ=MD, АК перес. ВМ = Р
Найти: угол СРМ
Решение: проведём прямые CL и DN так, что AL=LD, BN=NA. Поскольку АВСD - квадрат по условию, а точки К, L, M и N - середины сторон квадрата, то следовательно, CL паралл. AK, DN паралл. BM. Обозначим точки пересечения прямых через P1, P2, P3. Так как отрезки AK, CL, MB, DN попарно параллельны и являются раными отрезками внутри квадрата АВСD, то, следовательно, РР1Р2Р3 - также квадрат.
Так как мы провели аналогичные прямые уже проведённым, то, следовательно, и разделились они между собой в таком же отношении, как и прямые ВМ и АК, значит ВР=РР1, а так как РР1Р2Р3 - квадарат из решения, то Р1Р2=РР1 по определению квадрата, а также Р1Р2=СР1, значит СР1=Р1Р.
Рассмотрим треугольник СРР1, он прямоугольный, так как угол СР1Р смежный с углом квадрата РР1Р2, значит угол СР1Р=180-90=90 градусов. Помимо этого, треугольник СРР1 - равнобедренный, так как СР1=Р1Р, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45 градусов, значит угол СРМ=45 градусов.
Ответ: 45 градусов.
