Пусть SABC- данная правильная треугольная пирамида. SO- высота пирамиды, SМ- апофема. Посторим сечение, что проходит через боковое ребро и высоту пирамиды. Через вершину основания А и основание высоты пирамиды О проведем прямую, т. Т - точка пересечения прямой ОА и стороны основания ВС. SТ - впямая по которой искомая плоскость пересекает грань SВС. Поскольку треугольник АВС правильный, то О- центр вписаной и описаной окружности, SТ - является апофемой грани SВС(по теореме о 3-х перпендикулярах, SО - перпендикуляр, SТ- наклонная, ОТ- проекция).
S = ½ SО·АТ
АТ=r+R - сума радиусов вписаной и описаной окружностей.
Из треугольника SМА найдем по т.Пифагора АМ - половину стороны основания.
АМ²= SА²-SМ² = 11²-7²=121-49=72 , АМ=√72=√36·2=6√2см
Вся сторона основания АВ=2·6√2=12√2см
Из труегю АМТ по т. Пифагора найдем АТ: АТ²=АВ²-ВТ²=(12√2)²-(6√2)²=216
АТ=√216 =6√6см
Найдем высоту пирамиды:
Из треугольника SОА по т. Пифагора: SО²=SА² -ОА², ОА -радиус описаной окружности, ОА=АВ/√3.
SО²=11² -(12√2/√3)²=121-96=25, SО=5см
S = ½ ·6√6·5=15√6 (см²)