В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ=10, а боковое ребро...

Рисуем призму: нижнее основание АВС, верхнее - А1В1С1. Проведем в плоскостях АА1С1С и СС1В1В диагонали АС1 и ВС1 соответственно. Рассмотрим треуг-к АВС1. Искомое расстояние будет равно длине высоты, опущенной из А к ВС1(обоз-м ч\з АО). АС1=ВС1= $\sqrt{ (\sqrt{69} )^{2}+ 10^{2}}=13$ . В тр-ке АВС1 применим тер-му кос-в: 169=169 -100 - 2*13*10*cosABC1 => cosABC1=5/13 => sinABC1= $\sqrt{1-(5/13)^{2} }$ =12/13, а в тр-ке АВО sinABC1=sinABO=АО/АВ => AO=10*12/13= 120/13.