znanija.com/task/37834441
В треугольник ABC угол A равен 60° ,а центр вписанного круга делит биссектрису AK в отношении (√3+1) :(√2,считая от вершины A. Найти величины B и C.
Дано : ΔABC ;
∠A =60° ; AK _биссектриса
∠BAK=∠CAK ( AK _биссектриса )
O-центр вписанной в треугольник окружности || O ∈ [AK]
AO : OK=(√3+1) :√2
---------------------------
∠B -? , ∠C -?
Ответ: ∠B =75² , ∠C =45° .
Объяснение: Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон .
- - - - - - - чертеж → см приложение
Из ΔABK по теореме синусов
BA/sinφ =BK/sinα ⇔ BA/BK = sinφ/sinα || α= ∠BAK =0,5∠BAC=30° || ,
но BA/BK = AO/OK (свойство биссектриса ) ,следовательно
AO/OK =sinφ/sinα ⇒ sinφ=(AO/OK)*sinα = (√3+1)/2√2 ;
sinφ=(1/√2)*(√3/2)+(1/√2)*(1/2)=sin45°*cos30°+cos45°*sin30° =
sin(45°+30°) =sin75°. ⇒ φ =75°; ∠B = 180° - (30°+75°) = 75° ,
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° - (60°+75°) = 45° .