Решите уравнение (кубическое ) x³+x²-1=0

Сделаем замену: $x=u-\frac{1}{3}$ . Подставим: $u^3-u^2+\frac{u}{3} -\frac{1}{27} +u^2-\frac{2}{3}u+\frac{1}{9}-1=u^3-\frac{u}{3}-\frac{25}{27}=0\Leftrightarrow (3u)^3-3(3u)-25=0$ , после замены $w=3u$ имеем: $w^3-3w-25=0$ .

Пусть $w=a+b$ , где $a=m,\; b=\frac{1}{m}$ , здесь сразу заметим, что $ab=1$ .

Подставляем: $(m+\frac{1}{m})^3-3(m+\frac{1}{m})-25=0 \Leftrightarrow m^3+\frac{1}{m^3}+3m+\frac{3}{m} -3m-\frac{3}{m}-25=0$ . Далее: $m^3+\frac{1}{m^3}-25=0 \Leftrightarrow m^6-25m^3+1=0$ , сделаем очередную замену: $m^3=t$ , получим: $t^2-25t+1=0$ , откуда $t=\frac{25\pm 3\sqrt{69}}{2}$ . Понятно, что $x=\frac{m+\frac{1}{m}-1 }{3}$

Дальше распутываем клубок замен: $m=\sqrt[3]{\frac{23\pm 5\sqrt{21}}{2}}$ (сразу заметим, что отрицательный корень не подходит. Это можно обнаружить, исследуя функцию). Итого: $x=\frac{\sqrt[3]{\frac{25+3\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{2}{25+3\sqrt{69}} }-1 }{3}$ .