В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды построена плоскость. Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью.
Объяснение:
1) О-центр основания. SO⊥(ABC) как высота правильной пирамиды . Проведем через MN плоскость параллельную основанию , квадрату АВСD. Пусть РК⊥MN .Через К проведем КН ║SO. Через H проведем М₁N₁║MN . В сечении- равнобедренная трапеция МNN₁М₁ .
2) Р=MN+М₁N₁+2*NN₁.
ΔАВS , МN -средняя линия , значит MN=1/2*AB , МN=1/2*4=2.
МN -средняя линия , а значит МN║АВ , и М₁N₁║АВ по построению ⇒ М₁N₁=4.
Проведем в трапеции высоту EN .Высота EN=1/2 *SO ( по т. Фалеса).
SO=√(AS²-AO²).
ΔABC , AO=1/2*AC=1/2√(4²+4²)=2√2.
SO=√(AS²-AO²)=√(6²-8)=√28=2√7 ⇒EN=√7.
В равнобедренной трапеции отрезок ЕN₁=(4-2):2=1 .
Найдем NN₁ из ΔNN₁Е по т. Пифагора :
NN₁=√(EN²+EN₁²)=√(1+7)=2√2.
Р=MN+М₁N₁+2 NN₁=6+4√2