Найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, если сумма длин катетов равна 12, а...

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b; гипотенузой c и площадью S.

По теореме Пифагора

$a^2+b^2=c^2$ .

По условию a+b=12, тогда

$(a+b)^2=12^2\\a^2+b^2+2ab=144\\c^2+2ab=144\\c^2=144-2ab$

Площадь прямоугольного треугольника

$S=\frac{1}{2}ab$

По условию S=11, а значит

$\frac{1}{2}ab=11\\ ab=22$

Таким образом,

$c^2=144-2*22\\c^2=144-44\\c^2=100\\c=\sqrt{100} =10$

Ответ: 10.