найти частное решение дифференциального уравнения ,удовлетворяющее начальным условиям -...

Question

Дан 1 ответ

6575_zn · Answer 1 · 2024-07-05T13:10:43+0000

Ответ:

$y = -\frac{11}{9}e^{2x} + \frac{9}{8}e^{3x}+\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)$

Пошаговое объяснение:

$y''-5y'+6y=2xe^{-x}, y(0)=0, y'(0)=1$

Имеем дело с неоднородным линейным уравнением. Его решение можно искать в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: $y=y_o+\bar y$

Однородное уравнение: $y''-5y'+6y=0$

Его характеристическое уравнение: (k-2)(k-3) = 0 => k_1=2,k_2=3" alt="k^2-5k+6 = 0 => (k-2)(k-3) = 0 => k_1=2,k_2=3" align="absmiddle" class="latex-formula">

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

$y_o = C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$

Частное решение неоднородного уравнения имеет смысл искать в виде: $\bar y = (Ax+B)e^{-x}$

Посчитаем производные:

$\bar y' = ((Ax+B)e^{-x})' = Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x};$

$\bar y'' = (Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x})' = -Ae^{-x} - Ae^{-x} + (Ax+B)e^{-x} = -2Ae^{-x}+(Ax+B)e^{-x}$

Подставляем в уравнение и сокращаем на экспоненту:

$-2A+Ax+B -5(A-Ax-B)+6(Ax+B)=2x;$

A=\frac{1}{6}, -7A+12B=0 => B=\frac{7}{12}A=\frac{7}{72} => \bar y = \frac{e^{-x}}{72}(12x+7)" alt="12Ax -7A+12B = 2x => A=\frac{1}{6}, -7A+12B=0 => B=\frac{7}{12}A=\frac{7}{72} => \bar y = \frac{e^{-x}}{72}(12x+7)" align="absmiddle" class="latex-formula">

Тогда общее решение запишется в виде:

$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x} +\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)$

Определим константы из начальных условий:

C_1 = -C_2-\frac{7}{72}" alt="y(0) = C_1+C_2+\frac{7}{72}=0 => C_1 = -C_2-\frac{7}{72}" align="absmiddle" class="latex-formula">

2C_1+3C_2 = \frac{67}{72}" alt="y'(0) = 2C_1+3C_2-\frac{7}{72}+\frac{1}{6}=1 => 2C_1+3C_2 = \frac{67}{72}" align="absmiddle" class="latex-formula">

C_2 = \frac{9}{8} => C_1 = -\frac{9}{8}-\frac{7}{72} = -\frac{11}{9} => y = -\frac{11}{9}e^{2x} + \frac{9}{8}e^{3x}+\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)" alt="-2C_2-\frac{7}{36}+3C_2=\frac{67}{72} => C_2 = \frac{9}{8} => C_1 = -\frac{9}{8}-\frac{7}{72} = -\frac{11}{9} => y = -\frac{11}{9}e^{2x} + \frac{9}{8}e^{3x}+\frac{e^{-x}}{72}(12x+7)" align="absmiddle" class="latex-formula">