В прямоугольнике диагональ равна 20, а угол между ней и одной из сторон равен 30°....

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - прямоугольник.

DB - диагональ = 20.

∠DBC = 30°.

Найти:

$\frac{S(ABCD)}{\sqrt{3} } = ?$

Решение:

Проведём ещё одну диагональ АС. Точку пересечения АС и DB назовём О.

Прямоугольник - это тоже параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. А так как ещё по свойству прямоугольника равны, то ВО = OD = AO = OC. Следовательно, ΔВОС - равнобедренный.

Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО и ОС - боковые стороны). ∠ОВС = ∠ОСВ = 30°, так как прилегают к основанию. Рассмотрим ∠ODC - внешний для ΔВОС - равнобедренный. Следовательно, равен сумме углов не смежных с ним. То есть, ∠ODC = ∠ОВС +∠ОСВ = 30°+30° = 60°.

Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

S (ABCD) = 0,5*AC*DB*sin (∠ODC)

sin (60°) = (√3)/2.

AC = DB = 20.

То есть -

$S (ABCD) = 0,5*20*20*\frac{\sqrt{3} }{2} \\\\S (ABCD)=100\sqrt{3}$

$\frac{S(ABCD)}{\sqrt{3} } = \frac{100\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =100$

В прямоугольнике диагональ равна 20, а угол между ней и одной из сторон равен 30°....

Ответ: 100 (ед²).