Cначало поясню основную идею. Решение содержит отрезок [-2π;-7π/6],тк -2<-3/2<-7/6 ,то это решение содержит отрезок</p>
[-2π;-3π/2] ,которое содержит в себе все значения sin(x) с интервала от 0 до 1,а далее на интервале (-3π/2;-7π/6] идет повторение значений синусов которые уже были на предыдущем интервале,тк полупериод синуса равен π/2. Таким образом для реализации поставленной задачи необходимо и достаточно,чтобы решение неравенства для sin(x)=t (t∈ [-1;1] ) имело внутри себя отрезок t∈[0;1].
Далее переносим единицу в неравенстве вправо и приводим все к общему знаменателю. Знаменатель после раскрытия формулы двойного угла (cos2x=1-2*sin^2(x) ) будет иметь вид: (1,5+0.5(1-2*t^2)+a^2=a^2+2-t^2>=1>0 при любых возможных a и t (тк a^2+2>=2 , а 0<=t^2<=1) Таким образом знаменатель можно выбросить при решении неравенства,тк оно не может быть нулевым и не влияет на знак всей дроби. Тогда после всех преобразований неравенство имеет вид: </p>
t^2-(a^2-2a-3)*t -(a^2-a-2)<0</p>
или в таком виде:
t^2-(a+1)*(a-3)*t -(a+1)*(a-2)<0</p>
Итак, нам необходимо найти такие значения параметра a, при каждом из которых решение для t содержит отрезок t∈[0;1]. (то есть ,весь этот отрезок должен лежать внутри отрицательной части параболы)
Тк ветви параболы идут вверх,то для этого необходимо и достаточно чтобы значения функции параболы в 0 и 1 удовлетворяли условию: f(0)<=0 ; f(1)<=0 (неравенства строгие,тк случаи отдельного или возможного совместного пересечения параболой корней 0 и 1 так же учитываются) Внимание!!! Тк при выполнении первых двух условий,парабола уже имеет хотя бы 2 отрицательных значения и ее ветви идут вверх,то условие не полной положительности параболы на всей области определения D>0 уже выполнено и не надо там никакой дискриминант считать!
Итак с учетом вышесказанных условий необходимо решить следующую систему из двух неравенств:
(a+1)*(a-2)>=0 →a∈(-беск;-1]∪[2;+беск)
1-(a^2-2a-3)-(a^2-a-2)<=0→ -2*a^2+3a+6<=0 →2*a^2-3a-6>=0 → a∈(-беск;(3-√57)/4]∪[(3+√57)/4;+беск).
Пересечение решений дает решение:
a∈(-беск;(3-√57)/4]∪[(3+√57)/4;+беск)