Решите №22 пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

teledima00_zn · Answer 1 · 2020-05-29T10:24:45+0000

Дано: A(-5, 1), B(8,-2), C(1, 4)

а) Запишем уравнение стороны AB в каноническом виде

$\dfrac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$

В нашем случае x₁, y₁ - координаты точки A и x₂,y₂ - координаты точки B

$\frac{x+5}{8 -(-5)} = \frac{y-1}{-2 - 1}\\\\\frac{x+5}{13} = \frac{y-1}{-3}$

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(-5,1) и B(8, -2)

Можем написать это же уравнение только уже в общем виде, перемножив члены по свойству пропорций:

$-3\times (x+5) = 13\times(y-1)\\\\-3x - 15 = 13y - 13\\\\-3x - 13y - 2 = 0\\\\3x + 13y + 2 = 0$

б)

Точка H принадлежит прямой AB, следовательно задача сводится к тому, чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку C перпендикулярно AB

Перепишем уравнение прямой AB: 3x + 13y + 2 = 0

Коэффициенты при x и y представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой прямой.

$\overline n = \{3, 13\}$

Данный вектор ортогонален AB следовательно, он является направляющим вектором для искомой прямой.

Прямая проходит через точку C(1, 4).

Зная координаты направляющего вектора и точку, через которую проходит прямая, мы можем записать уравнение искомой прямой в каноническом виде

$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-4}{13}$

в)

точка M - середина BC.

Следовательно координаты точки M равны:

$x_M = \dfrac{8+1}{2}=\dfrac{9}{2}\\\\y_M = \dfrac{-2+4}{2}=1\\\\M(\frac{9}{2}, 1)$

Запишем уравнение медианы AM:

$A(-5,1), \;\;M(\frac{9}{2}, 1)\\\\\dfrac{x+5}{\frac{9}{2}+5}=\dfrac{y-1}{0}\\\\\\ \dfrac{2x+10}{19}=\dfrac{y-1}{0}\\\\(2x+10)\times0 = 19\times (y-1)\\\\19y - 19 = 0\\\\y = 1$

г)

Для того, чтобы найти точку пересечения, составим систему из двух уравнений: уравнения медианы AM и высоты CH

$\left \{\begin{array}{lcl} {{\frac{x-1}{3}=\frac{y-4}{13}} \\ {y=1}} \end{array}\right. \\\\\\\left \{\begin{array}{lcl} {{13x-13=3(1-4)} \\ {y=1}} \end{array} \right. \\\\\\\left \{\begin{array}{lcl} {{13x=4} \\ {y=1}} \end{array} \right.\\\\\\ \left \{\begin{array}{lcl} {{x=\frac{4}{13}} \\ {y=1}} \end{array} \right.$

Точка пересечения медианы AM и высоты CH: (4/13, 1)

д)

Так как прямая параллельна AB их нормальные векторы будут пропорциональны.

И так как прямая проходит через точку C(1, 4) конечное уравнение примет вид:

3(x - 1) + 13(y - 4) = 0

3x - 3 + 13y - 52 = 0

3x + 13y - 55 = 0 - искомое уравнение

е)

Расстояние от точки C до прямой AB равно длине перпендикуляра, опущенного из вершины C на прямую AB. Этот перпендикуляр есть ни что иное, как высота CH.

Найдём точку H как пересечение высоты CH и прямой AB

$\left \{\begin{array}{lcl} {{\frac{x-1}{3}=\frac{y-4}{13}} \\ {3x+13y+2=0}}\end{array} \right. \\\\\\\left \{\begin{array}{lcl} {{13x-13 = 3y-12} \\ {3x+13y+2=0}}\end{array} \right.\\\\\\\left \{\begin{array}{lcl} {{13x-3y-1 = 0} \\ {3x+13y+2=0}}\end{array} \right.$