Найдите все значения параметра а

Question

Дан 1 ответ

qwaaq_zn · Answer 1 · 2020-05-28T19:22:18+0000

Распишу коротко, алгоритм должен быть правильным, но за вычислительные ошибки ответственности не несу.

Посмотрим на $x^2-6x+5$ , это парабола с ветвями вверх, значения такой функции будут $\geq 0$ при $x \in (- \infty,-1]\cup [5,+ \infty)$ , меньше - очевидно.

1) Рассмотрим исходное неравенство при $x \in (- \infty,-1]\cup [5,+ \infty)$

Левая часть упростится до константы, неравенство будет выглядеть так:

0" alt="f(x,a)=-x^2+6x-16-a^2+a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Это парабола с ветвями вниз, параметр лишь поднимает/опускает ее по оси $x_0=-b/(2a)=3$

Чтобы у $f(x,a)$ была некая область значений строго больших нуля необходимо чтобы дискриминант был больше нуля (в этом случае парабола пересечет ось $y=0$ и ее "горб" залезет в область положительных $y$ ). Посчитаем дискриминант

$D(a)=-4a^2+4a-28$

Эта ф-ия парабола, притом $\forall a \;D(a)<0$

Значит такой случай отпадает.

2) Пусть теперь $x \in (-1,5)$

Левая часть упростится до $|-2x^2+12x-18|$ , что мы можем раскрыть со знаком минус т.к. ф-ия под модулем всегда больше либо равна нулю

Итого неравенство станет таким

0" alt="-3x^2+18x-26+a-a^2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Как и в предыдущем случае смотрим на дискриминант

$D(a)=-12a^2+12a+12$

0" alt="D(a)>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> при $a\in(1/2-\sqrt{5} /2,1/2+\sqrt{5} /2)$

т.е. только при таких $a$ нер-во потенциально может иметь решение. Вновь значение параметра передвигает параболу (с ветвями вниз) вдоль прямой $x_0=-18/-6=3$

Понятно что середина "горба", пересекающего прямую $y=0$ , лежит в точке с абсциссой $x_0$ , а края

$x_{12}=3 \pm 1/3\,\sqrt {-3\,{a}^{2}+3\,a+3}$ отстоят от точки $x_0$ на некоторые равные расстояния

Чтобы нер-во имело единственное целочисленное решение, необходимо наложить условия на края "горба"

2}} \right." alt="\left \{ {{3 + 1/3\,\sqrt {-3\,{a}^{2}+3\,a+3}<4} \atop {3 - 1/3\,\sqrt {-3\,{a}^{2}+3\,a+3}>2}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">

Таким образом лишь решением будет лишь целая точка $x_0=3$

Решение системы выглядит как

$\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)<a<\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)$

Что и будет ответом