Производная какой функции равна arcsin(x)?

Чтобы найти все такие функции, нужно взять интеграл от arcsin(x):

$\displaystyle\int \arcsin x dx$

Этот интеграл берётся с помощью формулы интегрирования по частям (по сути это вывернутая наизнанку формула производной от произведения):

$\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu$

Обозначим u=arcsin x. Тогда

$du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\dv=dx\\v=x\\$

Теперь применяем формулу:

$\displaystyle\int \arcsin x dx=x\cdot \arcsin x-\displaystyle\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}} =x\arcsin x+\frac{1}{2} \displaystyle\int\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} =\\=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

где С - произвольная константа.

Проверим, взяв производную от ответа:

$(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C)'=\arcsin x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} -\frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}} +0=\arcsin x$

Всё верно.