task/29776801 Решить уравнение. 9ˣ +4ˣ =12ˣ +1
Решение: 9ˣ +4ˣ =12ˣ + 1⇔(3ˣ)²- 1 + 4ˣ -12ˣ =0⇔(3ˣ -1 )(3ˣ +1 )-4ˣ( 3ˣ-1) =0⇔ (3ˣ - 1) (3ˣ+1 - 4ˣ) =0. ⇔ [ 3ˣ -1 =0 ; 3ˣ +1 =4ˣ .⇔ [3ˣ = 1 ; (3/4)ˣ + (1/4)ˣ =1 . ⇔
[ x =0 ; x= 1. ответ : 0 ; 1 .
Легко обосновать , что x =1 единственный корень уравнения (3/4)ˣ + (1/4)ˣ =1
допустим,что есть корни ≠ 1 ( доказательство от противного)
исходим из того, что y = (3/4)ˣ и y =(1/4)ˣ убывающие
а) x < 1. (3/4)ˣ >3/4 и (1/4)ˣ > 1/4 ,поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ > (3/4) + (1/4) =1 ;
б) x > 1. (3/4)ˣ < 3/4 и (1/4)ˣ < 1/4 , поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ <</strong> (3/4) + (1/4) =1 .
получили противоречие , значит предположение было неверно