Решить методом гауса и подробно расписать

Question

Дан 1 ответ

NNNLLL54_zn · Answer 1 · 2018-10-15T15:11:22+0000

$1)\; \; \left\{\begin{array}{ccc}12x_1-x_2+7x_3+11x_4-x_5=0\; \\24x_1-2x_2+14x_3+22x_4-2x_5=0\\x_1+x_2+x_3-x_4+2x_5=0\end{array}\right$

Заметим, что 2 строчка линейно зависима от 1 строки, т.к. все коэффициенты перед неизвестными пропорциональны, коэффициент пропорциональности = 2. ( Если умножить 1 строку на 2 и прибавить ко 2 строке , получим все нулевые коэффициенты ⇒ можно вычеркнуть 2 строку, получим систему с двумя уравнениями и 5 неизвестными .

Поменяем местами 1 и последнюю строки, затем умножим 1 строку на (-12) и прибавим ко 2 строке.

$\left\{\begin{array}{cc}x_1+x_2+x_3-x_4+2x_5=0\quad \qquad \\0\cdot x_1-13x_2-5x_3+23x_4-25x_5=0\end{array}\right$

Выбираем базисный определитель, составленный из 1 и 2 столбцов:

$\left|\begin{array}{cc}1&1\\0&-13\end{array}\right|=-13\ne 0$

Значит за базисные (главные) неизвестные можно принять х₁ и х₂, а остальные неизвестные - свободные, они могут принимать произвольные значения. Выразим базисные неизвестные через свободные. Получим бесчисленное множество решений системы.

$\left\{\begin{array}{cc}x_1+x_2=-x_3+x_4-2x_5\\-13x_2=5x_3-23x_4+25x_5\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{cc}x_1=(\frac{5}{13}x_3-\frac{23}{13}x_4+\frac{25}{13}x_5)-x_3+x_4-2x_5\\x_2=-\frac{5}{13}x_3+\frac{23}{13}x_4-\frac{25}{13}x_5\qquad \qquad \qquad \qquad \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{cc}x_1=-\frac{8}{13}x_3-\frac{10}{13}x_4-\frac{1}{13}x_5\\x_2=-\frac{5}{13}x_3+\frac{23}{13}x_4-\frac{25}{13}x_5\end{array}\right$

Обозначим $x_1=\alpha \; ,\; \; x_4=\beta \; ,\; \; x_3=\gamma$ , которые могут принимать произвольные числовые значения, тогда общее решение запишется в виде:

$\left\{\begin{array}{cc}x_1=-\frac{8}{13}\alpha -\frac{10}{13}\beta -\frac{1}{13}\gamma \; ,\\x_2=-\frac{5}{13}\alpha +\frac{23}{13}\beta -\frac{25}{13}\gamma \; .\end{array}\right$

2) Решение 2 системы напишу короче, через расширенную матрицу. Объяснения аналогичные.

$\left(\begin{array}{ccccc}1&-2&2&3&|\; 0\\2&-3&1&4&|\; 1\\3&-5&3&7&|\; 1\end{array}\right)\sim \; \; 1str\cdot (-2)+2str\; ;\; 1str\cdot (-3)+3str\\\\\\\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&-2&2&3&|\; 0\\0&1&-3&-2&|\; 1\\0&1&-3&-2&|\; 1\end{array}\right)\; \sim \; \left(\begin{array}{ccccc}1&-2&2&3&|\; 0\\0&1&-3&-2&|\; 1\end{array}\right)\\\\\\rang=2\; <\; n=4\; \; \to \; \; beschislennoe\; mnozestvo\; reshenij$

$\left|\begin{array}{cc}1&-2\\0&1\end{array}\right|=1\ne 0\; \; \Rightarrow \; \; x_1\; ,\; x_2\; -\; glavnue\; neizvestnue$

$\left\{\begin{array}{cc}x_1=2x_2-2x_3-3x_4\\x_2=1+3x_3+2x_4\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{cc}x_1=2(1+3x_3+2x_4)-2x_3-3x_4\\x_2=1+3x_3+2x_4\end{array}\right \\\\\\\left\{\begin{array}{cc}x_1=2+4x_3+x_4\\x_2=1+3x_3+2x_4\end{array}\right\; \; \; \; x_3=\alpha \; ,\; \; x_4=\beta \\\\\\\left\{\begin{array}{cc}x_1=2+4\alpha +\beta \\x_2=1+3\alpha +2\beta \end{array}\right$