В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен 8 см, а периметр треугольника равен 106 см.
Катет a = x+8 катет b = y+8 гипотенуза c = x+y --- теорема Пифагора a² + b² = c² (x+8)² + (y+8)² = (x+y)² 16x + 64 + 16y + 64 = 2xy 8x + 8y - xy +64 = 0 --- Периметр 2x + 2y + 16 = 106 x + y = 90 y = 90 - x подставим 8x + 8(90 - x) - x(90 - x) + 64 = 0 x² - 90x + 784 = 0 Дискриминант D = 90² - 4*784 = 4964 = 4*1241 x₁ = (90 - 2√1241)/2 = 45 - √1241 см x₂ = (90 + 2√1241)/2 = 45 + √1241 см в силу симметрии уравнений по x и y x = 45 - √1241 см y = 45 + √1241 см гипотенуза c = x+y = 90 см