Решить систему

0 голосов
57 просмотров

Решить систему

\displaystyle \left \{ {{log^3_4y^{ \frac{1}{3}}- \frac{1}{3}^{-3x} =-9} \atop {log^2_4y+ \frac{1}{3}^{-x}*log_4y^3=27-9^{x+1}}} \right.


image

Алгебра (72.1k баллов) | 57 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Task/27147149
-------------------
{ (1/3)³*(Log₄y)³ -(3ˣ)³ = - 9  ,                 { Log₄y)³ - (3ˣ⁺¹)³ = - 9*27 ,
{ (Log₄ y)² +3ˣ*3*Log₄ y = 27 -  9ˣ⁺¹ ; ⇔{ (Log₄ y)² +(3ˣ⁺¹)*Log₄ y = 27 -  (3ˣ⁺¹)²  ;⇔
Замена : u = Log₄ y , v =3ˣ⁺¹  > 0
{ u³ -v ³ = -9*27 ,        {(u - v)(u² +uv +v²) = - 9*27 ,       
{u² +uv +v² =27 ; ⇔   { u² +uv +v²  = 27   ;                  ⇔   

{ u - v= - 9 ,                { u -v = -9 ,                 { u - v = - 9 ,      * * * { u+(-v )= - 9 ,* * *
{ u² +uv +v² =27 ; ⇔  {(u -v)² +3uv =27 ; ⇔ { uv = -18.    ⇔  * * * {u*(-v) = 18 ; * * *  
* * * t² - 9t +18 =0 * * *
{ u = v - 9  ,             { u = v -9 ,  
{  (v -9) v = -18 ;  ⇔{ v² -9v +18 =0  ;

 v² - 9v +18 =0   ⇒ v₁  =3  ,v₂= 6 
u₁ = - 6 , u₂ = - 3 .

{3ˣ⁺¹ =3,                { x =0 ,
{Log₄ y = -6 ;  ⇔   {y = 1/ 2¹² ;
или 
{3ˣ⁺¹ =6,                  { x =Log₃ ² , 
{Log₄ y = - 3 ;  ⇔  {y = 1/ 2⁶  .

(181k баллов)
0

спасибо.. я решала через другую замену.. но ответы сошлись))

0

пожалуйста

0

но я не проверил * * * можно было основание логарифма оставить как было ,_4 * * *

0

можно ... я так и сделала.. после замены красиво на куб разности уходит.. Ваше решение очень интересное)

0

арифметика упрощается

0

Все замечательно. Я не понял только одно: раз уж Вы написали уравнение t^2-9t+18=0 (при том, что это на мой взгляд самый естественный путь), почему Вы не стали его решать, а предпочли выражать u через v?

0

Что всем было понятно