В остроугольном треугольнике ABC длины медиан BM, CN и высоты AH равны соответственно:...

Question

В остроугольном треугольнике ABC длины медиан BM, CN и высоты AH равны соответственно: корень из 41, корень из 65, и 8. Найдите площадь треугольника. Прошу бредовые решения не писать.

Comments

Если G - точка пересечения медиан, то расстояние от неё до BC равно AH/3;(интересно, это - понятно?). У треугольника BGC площадь равна 1/3 площади треугольника ABC, и известны две стороны BG = (2/3)BM; CG = (2/3)CN; и высота из вершины G к BC, пусть это GK = AH/3; осталось найти BC = BK + CK; BK и CK находятся просто по теореме Пифагора. Вот и вся схема решения.

Answer 1

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 начиная от угла, из которого построены. а из этого высота из точки пересечения медиан O к стороне ВС
OH₂ = 1/3AH₁ = 8/3
OB = 2/3√41
BH₂² + OH₂² = OB²
BH₂² = 4/9*41 - 64/9 = 100/9
BH₂ = 10/3
---
OC = 2/3√65
CH₂² + OH₂² = OB²
CH₂² = 4/9*65 - 64/9 = 196/9
CH₂ = 14/3
---
BC = BH₂ + CH₂ = 24/3 = 8
S (ABC) = 1/2*BC*AH₁ = 1/2*8*8 = 32

---