11 класс/институт. Докажите, что

Думаю, что автор забыл написать, что x, y и z неотрицательны. Например, если x=0, y=1, z=-1, то левая часть равна -1, а правая равна 0.

Пусть все переменные неотрицательны. Воспользуемся трижды неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел:

$a_1+a_2+\ldots +a_n \geq n\cdot \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.$

Имеем:

$x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)=(x+y+z)+(xy+yz+zx) \geq$

$3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \geq 3\cdot 2\cdot \sqrt{\sqrt[3]{xyz}\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=6\cdot \sqrt[6]{x^3y^3z^3}=6\sqrt{xyz}$

Что и требовалось доказать.

При чем здесь производная показательной и логарифмической функции, я не понял.