В прямоугольном параллелепипеде основание ABCD- квадрат, точка К делит отрезок AC в...

Question

В прямоугольном параллелепипеде
основание ABCD- квадрат, точка К делит отрезок AC в отношении 1:3, считая от вершины А.


а) Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, содержащей точку К и перпендикулярной плоскостям (АВС)
и AA1C. Построение обоснуйте.


б) Найдите площадь полученного
сечения, если ВС=4, AC1 = 4 корень из 6.

В прямоугольном параллелепипеде
боковая грань DD1C1C - квадрат, точка М
делит отрезок D1Cв отношении 1:5, считая от вершины D1.


а) Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярной плоскостям BCD1 и DCC1. Построение обоснуйте.


б) Найдите площадь полученного
сечения, если DD1 = 6, BD1 = корень из 88.

Answer 1

1a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно диагональные сечения этого параллелепипеда также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны основаниям, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку К параллельно диагональному сечению ВВ1D1D и представляет собой прямоугольник.
1б)  АС=BD =4√2 (диагонали квадрата со стороной 4).
АК:КС=1:3, значит АК=(1/4)*АС=(1/2)*АО. Тогда в треугольнике ABD отрезок EF - средняя линия и равен (1/2)*BD. Или EF=2√2.
В прямоугольном треугольнике АС1С гипотенуза АС1=4√6 (дано), катет
АС=4√2. Значит высота параллелепипеда равна СС1=√(96-32)=8. FG=CC1=8.
Тогда площадь сечения равна EF*FG=2*8=16√2 ед².
2a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно  сечения этого параллелепипеда, проходящие через диагонали боковых граней АА1В1В и DD1С1 также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны этим боковым граням, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку М параллельно сечению ADC1B1 и представляет собой прямоугольник.

2б)   D1С=DC1 =6√2 (диагонали квадрата со стороной 6).
D1M:MС=1:5, значит D1M=(1/6)*D1С=(1/3)*D1О. Тогда треугольники DDC1 и ED1H подобны с коэффициентом подобия 1/3 и отрезок EH  равен (1/3)*DС1. Или EН=(1/3)*6√2=2√2.
В прямоугольном треугольнике BD1D гипотенуза BD1=√88 (дано), катет
DD1=6. Значит диагональ основания параллелепипеда по Пифагору равна BD=√(88-36)=√52. Тогда  AD=√(BD²-AB²)= √(52-36)=4. EF=AD=4.
Площадь сечения равна EF*EH=4*2√2=8√2 ед².

---

---