Докажите что при любом натуральном значении n выполняется равенство...

Заметим, что для любого n, для которого выражение существует, выполнено

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$

Поэтому

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots + \frac{1}{(n-1)n}+ \frac{1}{n(n+1)}=$

$=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+ (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$