Докажите что при любом натуральном значении n выполняется равенство...

Думаю, что автор задания ошибся. Скорее всего, надо писать так:

$S_n=1+4+7+\ldots + (3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}.$

Для доказательства этого утверждения можно или просто сослаться на то, что мы имеем арифметическую прогрессию, или применить обычный в этой ситуации прием: удвоить сумму, добавив к ней ее же, но записанную в обратном порядке, и просуммировав их:

$2S_n=(1+(3n-2))+(4+(3n-5)+\ldots + ((3n-2)+1);$

$S_n=(3n-1)+(3n-1)+\ldots +(3n-1)=n(3n-1);$

$S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$