task / 25437717
---------------------
Решите уравнения
1.
sin²x cos²x - 3sinxcos³x +2cos⁴x = 0 ;
cos²x(sin²x - 3sinxcosx +2cos²x) =0 ;
a) cosx =0 ⇒x =π/2 + πn , n ∈ Z.
б) sin²x - 3sinxcosx +2cos²x =0 | \cos²x ≠0
tg²x - 3tgx +2 =0 ;
tgx =1 ⇒x =π/4 + πm , m ∈ Z.
tgx=2 ⇒x =arctg(2) + πk , k ∈ Z.
-------
2.
2tgx +5cos2x =1,25sin2x ;
* * * ОДЗ: cosx ≠0 * * *
2tgx +5(1-tg²x) / (1+tq²x) =1,25 *2tgx / (1+tq²x) ;
4tgx +4tg³x +10 -10tg²x - 5 tgx =0 ;
4tg³x -10tg²x -tgx +10 =0 ;
* * * (tgx-2)(4tg²x - 2tgx -5) =0 * * *
* * * можно через замену t =tgx * * *
4t³ -10t² -t +10 =0 ;
* * * t =2(один из множества делителей числа 10: {±1 ; ±2 ; ±5} корень * * *
4t³ -8t² -2t² +4t -5t +10 =0 ;
4t³ -8t² -2t²+4t -5t +10 =0 ;
* * * можно и через схему Горнера или деления столбиком * * *
4t²(t -2) -2t(t -2) -5(t -2) =0 ;
(t-2)(4t² - 2t -5) =0 ;
t =2 ⇒ tgx =2 .
x₁ =arctg(2) +πn , n∈Z.
---
4t² -2t -5 =0
t =(1±√21)/ 4 ⇒ tgx =(1±√21)/ 4 ;
x₂ = - arctg(√21 -1)/ 4 +πk , k∈Z ;
x₃= arctg(√21 +1)/ 4 +πm , m∈Z.
-------
3.
(2cos²x - cosx -1)√ctgx =0 ;
* * * ОДЗ : ctqx ≥0 ; sinx ≠0 * * *
а)
ctgx =0 ;
x₁ =π/2 +πn , n∈Z.
б)
{ 2cos²x - cosx -1=0 ; sinx ≠0 ; ctqx ≥ 0.
2cos²x - cosx -1=0
cosx = 1 не корень (⇒sinx =0)
cosx = -1/2 учитывая ОДЗ ( ctqx ≥ 0 )
x₂ =4π/3 +2πk , k ∈Z.
--------------
Удачи !