Дано:
- пирамида PMNKL (Р- вершина),
- её высота Н равна 8,
- угол α между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
1) Найти объём пирамиды
Находим сторону а основания:
а = 2*(Н/tg α) = 2*(8/√3) = 16/√3.
Площадь основания So = a² = 256/3.
Объём пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(256/3)*8 = 2048/9 ≈ 227,5556.
2) Найти величину угла между диагональю KM и гранью PKL.
Для этого надо спроецировать КМ на грань PKL, то есть провести плоскость, проходящую через отрезок КМ перпендикулярно плоскости PKL. Затем найти угол между диагональю КМ и её проекцией на грань PKL.
Удобнее всего спроецировать точку О (это основание высоты РО пирамиды и середина диагонали КМ).
Проведём осевую секущую плоскость перпендикулярно ребру основания KL. В сечении получим равнобедренный треугольник EPQ с высотой РО = Н.
Из точки О опустим перпендикуляр OU на PQ.
Отрезок QU, как лежащий против угла в (90-60=30°) равен половине OQ, то есть QU = (a/2)/2 = а/4 = 16/(4√3) = 4/√3.
Теперь перенесём этот отрезок в плоскость грани KPL на апофему PQ.
Апофема A = PQ = H/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16/√3.
Отсюда видим, что апофема A равна ребру а основания.
Поэтому угол между боковым ребром и ребром основания равен:
63,43495°.
Угол UKL = arc tg((4/√3)/(8/√3)) = arc tg (1/2) =
26,56505°.
Если продлить отрезок KU до пересечения с боковым ребром PL в точке Т, то получим треугольник KTL с двумя известными углами при ребре основания а и самим ребром а.
Угол KTL = 180°-63,43495°-26,56505° = 90°.
Находим длину КТ = KL*sin (L = √(A² + (a/2)²) = √((256/3)+(64/3)) = √(320/3).
KT = (256/3)/(√(320/3)) = 256/√960 = 256/(8√(15) = 32/√15.
Теперь находим искомый угол TKM из равнобедренного треугольника KTM по теореме косинусов:
a
b
c
p
2p
S
8,26236447
13,063945
8,2623645
14,794337
29,58867424
33,04945789
68,2666667
170,66667
68,266667
6,53197265
1,7303918
6,5319726
73,830051
1092,266667
33,04945789
cos A =
0,7905694
cos B =
-0,25
cos С =
0,790569415
Аrad =
0,659058
Brad =
1,8234766
Сrad =
0,659058036
Аgr =
37,761244
Bgr =
104,47751
Сgr =
37,76124391
Ответ: угол ТКМ = 37,761244°.