F(x)=3x^4-12x+5, [-2;1] Найти наибольшее и наименьшее значение

Question 1

F(x)=3x^4-12x+5, [-2;1]
Найти наибольшее и наименьшее значение

Question 2

Найдём производную функции:
$f'(x) = 12x^3 - 12$
Найдём промежутки монотонности функции:
$12x^3 - 12 \geq 0 \\ x^3 - 1 \geq 0 \\ (x - 1)(x^2 + x + 1) \geq 0 \\ x^2 + x + 1 \ \textgreater \ 0; \ \ \ x - 1 \geq 0 \\ x \geq 1$
Производная больше нуля на промежутке $[1; \ + \infty)$ , значит, на этом промежутке она и возрастает, а на $( - \infty; \ 1]$ убывает.
Точка, в которой убывание меняется на возрастание, называется точкой минимума.
$x_{min} = 1 \\ y_{min} = y(x_{min}) = y(1) = 3 - 12 + 5 = -4 \\ \\ y_{max} = y(-2) = 3 \cdot (-2)^4 - 12 \cdot (-2) + 5 = 3 \cdot 16 + 24 + 5 = 77$
Ответ: yнаиб = 77, yнаим. = -4

Dимасuk_zn · Answer 1 · 2018-05-15T09:15:02+0000

Найдём производную функции:
$f'(x) = 12x^3 - 12$
Найдём промежутки монотонности функции:
$12x^3 - 12 \geq 0 \\ x^3 - 1 \geq 0 \\ (x - 1)(x^2 + x + 1) \geq 0 \\ x^2 + x + 1 \ \textgreater \ 0; \ \ \ x - 1 \geq 0 \\ x \geq 1$
Производная больше нуля на промежутке $[1; \ + \infty)$ , значит, на этом промежутке она и возрастает, а на $( - \infty; \ 1]$ убывает.
Точка, в которой убывание меняется на возрастание, называется точкой минимума.
$x_{min} = 1 \\ y_{min} = y(x_{min}) = y(1) = 3 - 12 + 5 = -4 \\ \\ y_{max} = y(-2) = 3 \cdot (-2)^4 - 12 \cdot (-2) + 5 = 3 \cdot 16 + 24 + 5 = 77$
Ответ: yнаиб = 77, yнаим. = -4