Задача повышенной сложности, 8 класс. Решить в рамках школьной программы 8 класса....

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Возведем уравнение в квадрат. Поскольку при этом могут возникнуть лишние корни, сделаем в конце проверку:

$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{1-x^2}=\frac{1225}{144};$

$\frac{1}{x^2(1-x^2)}+\frac{2}{x\sqrt{1-x^2}}=\frac{1225}{144};\ \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}=t;\ t^2+2t=\frac{1225}{144};$

$(t+1)^2=\frac{1369}{144}; (t+1)^2=\left(\frac{37}{12}\right)^2;\ t+1=\pm\frac{37}{12};$

$\left [ {{t=\frac{25}{12}} \atop {t=-\frac{49}{12}}} \right. };$

1) $\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}=\frac{25}{12};\ 625x^2(1-x^2)=144;\ x^2=y;\ 625y^2-625y+144=0;$

$\left [ {{y=\frac{16}{25}} \atop {y=\frac{9}{25}}} \right. ;\ \left [ {{x=\pm\frac{4}{5}} \atop {x=\pm\frac{3}{5}}} \right.$

Поскольку в этом случае $x\ \textgreater \ 0,$ оставляем только положительные корни. Подстановка в исходное уравнение показывает, что оба подходят.

2) $\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}=-\frac{49}{12};\ 2401x^2(1-x^2)=144;\ 49x^2=y;$

$y^2-49y^2+144=0;\ y=\frac{49\pm 5\sqrt{73}}{2};\ x=\pm\frac{1}{7}\sqrt{\frac{49\pm5\sqrt{73}}{2}}$

В этом случае оставляем только отрицательные корни.

Подстановка в исходное уравнение оставляет
$x=-\frac{1}{7}\sqrt{\frac{49+5\sqrt{73}}{2}}$

Поскольку задача повышенной сложности, рутинные выкладки я оставляю автору задания, подскажу только, что в процессе придется доказать, что

$\sqrt{49+5\sqrt{73}}-\sqrt{49-5\sqrt{73}}=5\sqrt{2}$

А доказывается это простым возведением в квадрат.

Замечание. Есть второй способ решения задачи - с помощью тригонометрической замены.

Ответ: $\frac{3}{5};\ \frac{4}{5}; -\frac{1}{7}\sqrt{\frac{49+5\sqrt{73}}{2}}$

yugolovin_zn (64.0k баллов) 15 Май, 18