1.Дана правильная четырехугольная пирамида с высотой 6 и со стороной основания 4. найдите двугранный угол между плоскостью основания и боковой гранью и площадь полной поверхности пирамиды.
Решение.
Определение: "Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям)".
Дана правильная пирамида SАВСD, значит в основании ее лежит квадрат АВСD, а вершина S проецируется в центр квадрата О. Тогда искомый угол - угол SHO - угол между апофемой грани и отрезком ОН, соединяющим центр основания с серединой его стороны ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ.
Апофема (высота грани) по Пифагору SН=√(SO²+OH²) или
SH=√(36+4)= 2√10.
Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета (высота) к гипотенузе (апофема) или Sinα=6/2√10=0,3√10≈0,949.
α=arcsin0,949 или α≈71,6°.
Или: тангенс этого угла - отношение противолежащего катета SO к прилежащему ОН, то есть Tgα=6/2=3. α=arctg3 или α≈71,6°.
Ответ: α≈71,6°
Площадь основания - площадь квадрата: So=16. Площадь боковой поверхности - площадь четырех боковых граней (треугольников):
Sбок=4*(1/2)*4*2√10=16√10.
Площадь полной поверхности пирамиды: S=So+Sбок=16(1+√10). Это ответ.
2. Дана правильная усечённая четырехугольная пирамида, стороной основания которой равны 12 и 16. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Решение.
Опустим из середины верхнего основания Е перпендикуляры ЕН - к плоскости основания и EF - к ребру АВ.
EFPG - сечение данной усеченной пирамиды - равнобокая трапеция, в которой высота ЕН делит основание на два отрезка, меньший из которых ЕН равен полуразности оснований (свойство), то есть ЕН=(16-12):2=2.
В прямоугольном треугольнике ЕFH острый угол EFH равен 45°. Значит ЕН=FH=2. Усеченную апофему найдем по Пифагору: EF=√(ЕН²+FH²) или
EF=√(4+4)= 2√2.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобокие трапеции с высотой - усеченной апофемой, равной EF=2√2 и основаниями, равными 16 и 12 (дано), значит искомая площадь равна площади четырех таких граней:
Sбок=4*(12+16)*2√2/2=112√2. Это ответ.
