Доказательство методом математической индукции
База индукции При n=1 утверждение верно, так:
кратно 4.
Гипотеза индукции. Предположим что при n=k є N утверждение верно, т.е.
справедливо что 
кратно 4
Индукционный переход. Докажем, что тогда утверждение справедливо n=k+1
т.е. что 
кратно 4
кратно 4, так как (3^k+2k-1) кратно 4 по допущению, 2 кратно 2,
всегда нечетное при любом k є N как произведение нечетных чисел (3 - нечетное число)
- четное число как сумма двух нечетных чисел (1 - нечетное число)
а значит кратно 2, а значит 
кратно 2*2=4
а значит 
кратно 4 как сумма двух чисел кратных 4, что значит что кратно 4
Согласно принципу математической индукции утверждение верно. Доказано
=================
второй способ. по остаткам
если n- четное, n=2l для какого-то l є N, то
, а значит будет давать в остатке такой же остаток как и произведение остатков от деления 9 на 4, т.е. 1
2*n=2*2l=4l кратно 4, остаток 4
а значит остаток от деления 3^n+2n-1 будет равен 1+0-1=0, т.е. выражение будет кратно 4 при четном n
если n-нечетное, n=2l+1, l є N или l=0, то
а значит даст остаток при делении на 4: 1*3=3
а значит даст остаток 1 при делении на 4
а значит 
даст остаток такой же как 3+1=4 т.е. даст остаток 0, а значит кратно 4.
Таким образом утверждение справедливо при любых n є N
Доказано.
