Помогите с уравнением

Question

Помогите с уравнением

---

Answer 1

(x² + 1) / (a²x -2a) - 1/(2 -ax) = x/a ;
(x² + 1) / a(ax -2) + 1/(ax -2) = x/a ;
ОДЗ:   a ≠ 0_ допустимое значение  параметра ;   ax -2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2/a.  
x² + 1 + a = x( ax -2) ;
x² + 1 + a =  ax² -2x ;
(a -1)x² - 2x  - (a+1) =0 ;
если :
1.  a -1 = 0 ⇔ a = 1 (линейное уравнение) ⇒
(1 -1)*x₀² - 2*x₀   - (1+1) = 0  ⇒x₀ = -1     ≠ 2/a = 2/1 =2.
2.   a ≠1   * * *  квадратное уравнение * * *
D/4 = 1² + (a -1)* (a+1) = 1 + a² -1 = a²  > 0   * * * a ≠ 0 * * *
x₁,₂ = (1 ±√a²) /(a -1) .
x₁ = (1- a ) / (a -1) =  - 1 , причем   -1  ≠ 2/a  ⇔  a  ≠  - 2 ; 
x₂ = (1+ a )  / (a -1) и  (1+ a ) / (a -1) ≠ 2/a ⇔a² +a ≠ 2a -2 ⇔ a² -a +2 ≠ 0⇔
(a -1/2)² + 7/4 ≠ 0 .

ответ  :  - 1                  ,  если  a  ∉  { 0 ; - 2}  ;
              (a+1 ) / (a -1)  , если  a  ∉  { 0 ; 1}.

Answer 2

Область определения: а =/= 0, x =/= 2/a
Приводим к общему знаменателю a^2*x - 2a = a(ax - 2)

Умножаем на знаменатель, переходим к целым выражениям.
x^2 + 1 + a = x(ax - 2) = ax^2 - 2x
x^2 + 2x + 1 - ax^2 + a = 0
(x + 1)^2 - a(x^2 - 1) = 0
(x + 1)^2 - a(x + 1)(x - 1) = 0
(x + 1)(x + 1 - a(x - 1)) = (x + 1)(x - ax + a + 1) = 0
x1 = -1
x(1 - a) + (a + 1) = 0
x(a - 1) = a + 1
x2 = (a + 1)/(a - 1)
a =/= 1
При а = 1 начальное уравнение превращается в такое:


x^2 + 2 = x^2 - 2x
-2x = 2
x = -1
Но еще x =/= 2/a
2/a =/= -1; a =/= -2 (только для корня x = -1)
2/a =/= (a + 1)/(a - 1)
2(a - 1) =/= a(a + 1)
2a - 1 =/= a^2 + a
a^2 - a + 1 =/= 0 - это верно при любом а

Ответ: При a = 0 решений нет. При a = 1 будет x = -1.
При a = -2 будет x = (a+1)/(a-1) = (-2+1)/(-2-1) = 1/3.
При всех остальных а будет x1 = -1; x2 = (a+1)/(a-1)