Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC равна 9, а боковое ребро 12. **...

Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC равна 9, а боковое ребро 12. На ребре основания АС находится точка L, на ребре основания АВ –точка М, а на боковом ребре AS–точка К. Известно, что CL=BM=SK=3.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки L,M и К.

Answer 1

Основание правильной пирамиды - равносторонний треугольник АВС. Вершина S правильной пирамиды проецируется в  т.О – центр правильного треугольника АВС. 

Сечение KLM- треугольник.

Искомая площадь    S=a•h:2, где a=ML, h=KO 

Угол МАL=60°, CL=BM, следовательно, AL=AM  ⇒∆ AML – правильный.  

АL=AM=9-3=6,⇒  ML=6

Высота основания AH=AB•sin60°=9√3/2=4,5√3

Грани пирамиды - равнобедренные треугольники. 

По т.Пифагора из ∆ SHB:

SH²=SB²-BH²=144-20,25=123,75

По т. косинусов  вычислим косинус ∠SAH: 

SH²=SA²+AH² - 2•SA•HA•cos∠SAH

123,75=144+60,75 - 2•12•4,5√3•cosSAH

-81= -12•9√3•cos∠SAH

Из  ∆ KLM по т. косинусов 

КО²=КА²+АО²-2•AO•KO•cos∠KAO

КА=SA-SK=12-3=9

AO=2/3 AH=3√3

КО²=81+27 - 2•9•3√3•√3):4 

КО²=67,5

КО=1,5√30

S ∆KLM=0.5•6•1,5√30=4,5√30 

---