Вопрос в картинках...

Question 1

Решите задачу:

$\int\limits^\infty_0 {\frac{5sinx}{x} \, dx$

Question 2

Вряд ли нижний предел интегрирования = 0, скорее всего, там 1 .

Question 3

$A=\int \limits _0^{\infty }\frac{sinx}{x}dx$

Рассмотрим функцию $I(t)=\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot \frac{sinx}{x}dx\; ,\; \; t \geq 0$ .

Тогда $A=I(0)$ .
Дифференцируя под знаком интеграла по переменной t получим :

$I'(t)=-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx$

Этот интеграл легко вычисляется при t>0 по частям:

$I'(t)=\frac{1}{t}\cdot \int \limits _0^{\infty }sinx\cdot d(e^{-tx})=[\int u\, dv=uv-\int v\, du\; ]=\\\\=\frac{1}{t}(sinx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot cosx\, dx)=\\\\=\frac{1}{t^2}(cosx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }+\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\\\\I'(t)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\; \; \to \; \; I'(t)=-\frac{1}{1+t^2}$

Интегрируя полученное соотношение находим

$I(t)=-\int \frac{dt}{1+t^2}=-arctgt+C$

Постоянную С находим из условия $I(+\infty )=0$ .

$\\0=-\frac{\pi}{2}+C\; \; \to \; \; \; C=\frac{\pi}{2}\\\\I(t)=\frac{\pi}{2}-arctgt$

Функция $I(t)$ непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден с помощью предельного перехода:

$\int\limits^{\infty }_0 {\frac{sinx}{x}dx} =I(0)=\lim\limits _{t\to 0}I(t)=\lim\limits _{t\to 0}(\frac{\pi}{2}-arctgt)=\frac{\pi}{2}\\\\\\ \int\limits^{\infty }_0 {\frac{5sinx}{x}} \, dx =\frac{5\pi}{2}$

NNNLLL54_zn · Answer 1 · 2018-05-12T12:07:27+0000

$A=\int \limits _0^{\infty }\frac{sinx}{x}dx$

Рассмотрим функцию $I(t)=\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot \frac{sinx}{x}dx\; ,\; \; t \geq 0$ .

Тогда $A=I(0)$ .
Дифференцируя под знаком интеграла по переменной t получим :

$I'(t)=-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx$

Этот интеграл легко вычисляется при t>0 по частям:

$I'(t)=\frac{1}{t}\cdot \int \limits _0^{\infty }sinx\cdot d(e^{-tx})=[\int u\, dv=uv-\int v\, du\; ]=\\\\=\frac{1}{t}(sinx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot cosx\, dx)=\\\\=\frac{1}{t^2}(cosx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }+\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\\\\I'(t)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\; \; \to \; \; I'(t)=-\frac{1}{1+t^2}$

Интегрируя полученное соотношение находим

$I(t)=-\int \frac{dt}{1+t^2}=-arctgt+C$

Постоянную С находим из условия $I(+\infty )=0$ .

$\\0=-\frac{\pi}{2}+C\; \; \to \; \; \; C=\frac{\pi}{2}\\\\I(t)=\frac{\pi}{2}-arctgt$

Функция $I(t)$ непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден с помощью предельного перехода:

$\int\limits^{\infty }_0 {\frac{sinx}{x}dx} =I(0)=\lim\limits _{t\to 0}I(t)=\lim\limits _{t\to 0}(\frac{\pi}{2}-arctgt)=\frac{\pi}{2}\\\\\\ \int\limits^{\infty }_0 {\frac{5sinx}{x}} \, dx =\frac{5\pi}{2}$