2 задача. (1+k)*x^2 - 3kx + 4k = 0
При k = -1 уравнение становится линейным:
0x^2 + 3x - 4 = 0
И имеет только один корень x = 4/3.
Хотя он и больше 1, но он единственный, и нам не подходит.
Значит, k =/= -1. Решаем квадратное уравнение.
D = (-3k)^2 - 4*(1+k)*4k = 9k^2-16k-16k^2 = -7k^2-16k = -k(7k+16) >= 0
k ∈ [-16/7; 0] - в этом промежутке уравнение имеет 2 корня.
x1 = (3k - √(-7k^2-16k))/(2+2k); x2 = (3k + √(-7k^2-16k))/(2+2k)
Нам нужно, чтобы оба корня были больше 1.
Ясно, что x2 > x1, поэтому достаточно проверить x1 > 1.
(3k - √(-7k^2-16k))/(2+2k) > 1
(3k - √(-7k^2-16k))/(2+2k) - 1 > 0
(3k - √(-7k^2-16k) - 2 - 2k)/(2+2k) > 0
(k - 2 - √(-7k^2-16k))/(2+2k) > 0
Дробь > 0, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
1) Числитель и знаменатель отрицательны
{ k ∈ [-16/7; 0]
{ 2+2k < 0; отсюда k < -1
{ k - 2 - √(-7k^2-16k) < 0
Упрощаем
{ k ∈ [-16/7; -1)
{ √(-7k^2-16k) > k-2
Корень слева арифметический, то есть неотрицательный.
А справа отрицательное число. Это неравенство верно при любом k.
k ∈ [-16/7; -1)
2) Числитель и знаменатель положительны.
{ k ∈ [-16/7; 0]
{ 2+2k > 0; отсюда k > -1
{ k - 2 - √(-7k^2-16k) > 0
Упрощаем
{ k ∈ (-1; 0]
{ √(-7k^2-16k) < k - 2
Корень слева арифметический, то есть неотрицательный.
А справа отрицательное число. Это неравенство решений не имеет.
Ответ: k ∈ [-16/7; -1)
1 задача. ax^2 - 2(2a-1)*x + (2-3a) = 0
При а = 0 уравнение становится линейным:
0x^2 - 2(-1)*x + 2 = 2x + 2 = 0
x = -1
Значит, a =/= 0. Решаем квадратное уравнение
D/4 = (2a-1)^2 - a(2-3a) = 4a^2-4a+1-2a+3a^2 = 7a^2-6a+1 >= 0
7a^2 - 6a + 1 >= 0
D/4 = 3^2 - 7 = 9 - 7 = 2
a1 = (3-√2)/7 ~ 0,226; a2 = (3+√2)/7 ~ 0,63
(a - a1)(a - a2) >= 0
a ∈ (-oo; 0) U (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
Получаем 2 корня
x1 = (2a-1 - √(7a^2-6a+1))/a; x2 = (2a-1 + √(7a^2-6a+1))/a
Сначала проверим, что x1 > 1.
(2a-1 - √(7a^2-6a+1))/a > 1
(2a-1 - √(7a^2-6a+1))/a - 1 > 0
(2a-1 - √(7a^2-6a+1) - a)/a > 0
(a-1 - √(7a^2-6a+1))/a > 0
Дробь > 0, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
1) Числитель и знаменатель отрицательны
{ a ∈ (-oo; 0) U (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
{ a < 0
{ a-1 - √(7a^2-6a+1) < 0
Упрощаем
{ a ∈ (-oo; 0)
{ √(7a^2-6a+1) > a - 1
Корень слева арифметический, то есть неотрицательный.
А справа отрицательное число. Это неравенство верно при любом a.
a ∈ (-oo; 0)
Однако, при подстановке, например, a = -2, мы получим:
-2x^2 - 2(-5)*x + 2 + 6 = 0
-2x^2 + 10x + 8 = 0
x^2 - 5x - 4 = 0
D = 25 + 4*4 = 25 + 16 = 41
x1 = (5 - √41)/2 < 0; x2 = (5 + √41)/2 > 1
Видимо, так получилось, потому что a < 0. Этот ответ не подходит.
2) Числитель и знаменатель положительны.
{ a ∈ (-oo; 0) U (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
{ a > 0
{ a-1 - √(7a^2-6a+1) > 0
Упрощаем
{ a ∈ (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
{ √(7a^2-6a+1) < a - 1
Корень слева арифметический, то есть неотрицательный.
А справа отрицательное число. Это неравенство решений не имеет.
Необходимо также проверить x2 > 1 при a > 0
(2a-1 + √(7a^2-6a+1))/a > 1
(2a-1 + √(7a^2-6a+1))/a - 1 > 0
(2a-1 + √(7a^2-6a+1) - a)/a > 0
(a-1 + √(7a^2-6a+1))/a > 0
Так как знаменатель a > 0, то и числитель > 0
{ a ∈ (-oo; 0) U (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
{ a > 0
{ a-1 + √(7a^2-6a+1) > 0
Упрощаем
{ a ∈ (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
{ √(7a^2-6a+1) > 1 - a
Слева и справа выражения неотрицательные, возводим их в квадрат.
7a^2 - 6a + 1 > 1 - 2a + a^2
6a^2 - 4a > 0
2a(3a - 2) > 0
Получаем
{ a ∈ (0; (3-√2)/7] U [(3+√2)/7; +oo)
{ a ∈ (2/3; +oo)
(3+√2)/7 ~ 0,63 < 2/3, поэтому
Ответ: a ∈ (2/3; +oo)