Решить задачу по геометрии, подробно с объяснениями (45 баллов)

ABCD - правильный тетраэдр, значит, все ребра равны
AB = BC = AC = AD = BD = CD = 12
Проведем сечение плоскостью через ребро CD и через K середину AB.
Тогда шар, вписанный в куб в плоскости станет кругом, вписанным в треугольник. Это показано на правом рисунке.
CK = DK = 12*√3/2 = 6√3
Найдем площадь треугольника CDK по формуле Герона.
p = (a+b+c)/2 = (12+6√3+6√3)/2 = 6+6√3
$S(CDK) = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(6+6 \sqrt{3} )(6 \sqrt{3} -6)*6*6}=$
$=6 \sqrt{6^2*3-6^2}=6 \sqrt{6^2*2}=6*6 \sqrt{2}=36 \sqrt{2}$
Радиус вписанного круга (он же радиус шара)
$r= \frac{S}{p}= \frac{36 \sqrt{2} }{6+6 \sqrt{3} }=\frac{6 \sqrt{2} }{1+\sqrt{3} }= \frac{6 \sqrt{2}*(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}= \frac{6 \sqrt{2}*(\sqrt{3}-1)}{3-1} =3 \sqrt{2}*(\sqrt{3}-1)$
Площадь поверхности вписанного шара
$S=4 \pi r^2=4 \pi *9*2( \sqrt{3} -1)^2=72 \pi (3-2 \sqrt{3} +1)=144 \pi (2- \sqrt{3} )$