Пож Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н,...

Question

Пож

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке
Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную
вокруг треугольника АВН, в точке К.
а) Докажите, что ВА – биссектриса угла КВС.
б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.

Answer 1

∠ABC=30°⇒∠BCH=∠BAH=60°⇒∠BKH=60° (опираются на одну дугу)⇒
ΔKBC - равносторонний⇒BA - биссектриса ∠KBC. Поскольку AB - серединный перпендикуляр к KC⇒ KA=AC=12, а поскольку ∠KBA=30°, по теореме синусов можем найти радиус окружности:
AK=2Rsin 30°; R=AK=12.

∠BKE=∠BKH-∠EKH=60°-∠EBH=60°-15°=45°⇒по теореме синусов
BE=2Rsin 45°=2·12·√2/2=12√2